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2001年日本数学オリンピック本選(2001年 2月 11日)
(財) 数学オリンピック財団
問題
試験時間 4時間 5問
１．ｍ×ｎのマス目がある。次の条件を満たすように各マスを黒または白に塗る。
条件：すべての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。
このとき、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。ただし、２つのマスが隣接するとは、それらが異なり、かつ一辺を共有することである。
２．１０進法表記で、自然数ｎがａｍａｍ−１…ａ１と表されていたとする。つまり、０以上９以下の整数ａｍ、ａｍ−１、…、ａ１（ただしａｍ≠０）を用いて、
ｎ＝１０ｍ−１ａｍ＋１０ｍ−２ａｍ−１＋・・・＋ａ１
と表される。このとき、
ｎ＝（ａｍ＋１）×（ａｍ−１＋１）×・・・×（ａ１＋１）
を満たすｎをすべて求めよ。
３．０以上の実数ａ、ｂ、ｃがあり、
ａ２≦ｂ２＋ｃ２、ｂ２≦ｃ２＋ａ２、ｃ２≦ａ２＋ｂ２
を満たしているとする。このとき
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≧４（ａ６＋ｂ６＋ｃ６）
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。
４．ｐを任意の素数、ｍを任意の自然数とする。このとき自然数ｎをうまく選べば、ｐｎを１０進法で表したときその数字列に０が連続してｍ個以上並ぶ部分があるようにできることを示せ。
５．平面上に三角形ＡＢＣと三角形ＰＱＲがあり、以下の２つの条件（１）、（２）を満たしている。
（１）点Ａは線分ＱＲの中点であり、点Ｐは線分ＢＣの中点である。
（２）直線ＱＲは∠ＢＡＣの二等分線であり、直線ＢＣは∠ＱＰＲの二等分線である。
このとき、ＡＢ＋ＡＣ＝ＰＱ＋ＰＲとなることを示せ。ただし、ここでＸＹとは線分ＸＹの長さを表すものとする。
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