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第４１回国際数学オリンピック 韓国大会の問題
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日本語版
第一日
韓国:大田(Taejon), 2000年7月19日
解答時間 : 4時間30分
各問 7点
問題 １．
２つの円Γ１、Γ２があり，２点Ｍ、Ｎで交わっている．直線ＬはΓ１とΓ２の共通接線であり，点Ｍは点Ｎより直線Ｌに近い側にある．直線ＬはΓ１と点Ａで接し，Γ２と点Ｂで接する．点Ｍを通りＬに平行な直線と，Γ１との交点をＣ，Γ２との交点をＤとする．ただし，Ｃ、ＤはＭと異なる点である．
直線ＣＡとＤＢの交点をＥ，直線ＡＮとＣＤの交点をＰ，直線ＢＮとＣＤの交点をＱとする．ＥＰ＝ＥＱを示せ．
問題 ２．
a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１
問題 ３．
ｎを２以上の正整数とする．初期配置において，左右に延びた直線上にｎ匹の蚤（ノミ）がいる．ただし，ｎ匹全部が同じ点にいるわけではない．
正の実数λに対して， 操作 を次のように定義する：
異なる２点にいる２匹の蚤を選び，左側の蚤がいる点をＡ，右側の蚤がいる点をＢとする；
Ａにいる蚤を，Ｂの右側にありＢＣ／ＡＢ＝λを満たす直線上の点 C にジャンプさせる．
次の条件を満たすλの値を全て決定せよ：
「直線上の任意の点Ｍとｎ匹の蚤の任意の初期配置に対して，有限回の操作により全ての蚤がＭの右側に来るように出来る．」
第二日大田(Taejon), 2000年7月20日
解答時間 : 4時間30分各問 7点
問題 ４．
手品師が１から100までの数字が書かれた100枚のカードを持っている．手品師はその100枚のカード全てを３つの箱（赤い箱，白い箱，青い箱）に入れて，それぞれの箱に少なくとも１枚以上のカードが入っているようにする．
ある観客が，異なる２つの箱からカードを１枚ずつ取り出して，カードに書かれている数字の合計を手品師に教える．教えられた値をもとに，手品師はカードが引かれなかった箱の色を当てる．
このようなトリックが成立するようなカードの入れ方は何通りあるか．
（少なくとも１枚のカードが別の箱に入っているとき，異なる入れ方だと数える．）
問題 ５．
次の条件を満たす正整数ｎは存在するか．
ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある．
２n + 1 はｎで割り切れる．
問題 ６．
鋭角三角形 ABC の各頂点 A, B, C から対辺に下ろした垂線と対辺との交点をそれぞれH1, H2, H3とする．三角形ABC の内接円は辺 BC, CA, AB とそれぞれ点 T1, T2, T3 で接する．直線T2T3に対して直線H2H3と対称な直線をＬ1, 直線T３T１に対して直線H３H１と対称な直線をＬ２, 直線T１T２に対して直線H１H２と対称な直線をＬ３ とする．
Ｌ１, Ｌ２, Ｌ３によって作られる三角形の全ての頂点は，三角形 ABCの内接円の周上にあることを示せ．
（注）原文では、問１、問６の「直線Ｌ」は行書・斜体の「ｌ」である。
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