問題

試験時間 4時間 5問

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１．ｍ×ｎのマス目がある。次の条件を満たすように各マスを黒または白に塗る。

条件：すべての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。

このとき、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。ただし、２つのマスが隣接するとは、それらが異なり、かつ一辺を共有することである。

　

２．１０進法表記で、自然数ｎがａ_ｍａ_ｍ−１…ａ_１と表されていたとする。つまり、０以上９以下の整数ａ_ｍ、ａ_ｍ−１、…、ａ_１（ただしａ_ｍ≠０）を用いて、

ｎ＝１０^ｍ−１ａ_ｍ＋１０^ｍ−２ａ_ｍ−１＋・・・＋ａ_１

と表される。このとき、

ｎ＝（ａ_ｍ＋１）×（ａ_ｍ−１＋１）×・・・×（ａ_１＋１）

を満たすｎをすべて求めよ。

　

３．０以上の実数ａ、ｂ、ｃがあり、

ａ^２≦ｂ^２＋ｃ^２、ｂ^２≦ｃ^２＋ａ^２、ｃ^２≦ａ^２＋ｂ^２

を満たしているとする。このとき

（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２）（ａ^３＋ｂ^３＋ｃ^３）≧４（ａ^６＋ｂ^６＋ｃ^６）

が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。

　

４．ｐを任意の素数、ｍを任意の自然数とする。このとき自然数ｎをうまく選べば、ｐ^ｎを１０進法で表したときその数字列に０が連続してｍ個以上並ぶ部分があるようにできることを示せ。

　

５．平面上に三角形ＡＢＣと三角形ＰＱＲがあり、以下の２つの条件（１）、（２）を満たしている。

（１）点Ａは線分ＱＲの中点であり、点Ｐは線分ＢＣの中点である。
（２）直線ＱＲは∠ＢＡＣの二等分線であり、直線ＢＣは∠ＱＰＲの二等分線である。

このとき、ＡＢ＋ＡＣ＝ＰＱ＋ＰＲとなることを示せ。ただし、ここでＸＹとは線分ＸＹの長さを表すものとする。

　

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